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二章二节 矩阵及其运算 矩阵的运算

2700人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

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    矩阵的加法

    定义2 设有两个m x n矩阵A = [aᵢⱼ]和B = [bᵢⱼ],那么矩阵A与B的和记作A+B,

    规定A+B=

    数与矩阵相乘

    定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λA,规定为λA=

    矩阵加法数乘矩阵统称为矩阵的线性运算,具有以下性质:

   

    矩矩与矩阵相乘

    定义4 设A=[aᵢⱼ]是m x s矩阵,B=[bᵢⱼ]是s x n的矩阵,矩阵A与矩阵B的乘积是一个m x n的矩阵C=[cᵢⱼ],其中cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ... + aᵢₛbₛⱼ(i = 1, 2...m; j = 1,2...n),并记作C=AB

    与数乘不同,矩阵的乘法不满足下面的性质

    矩阵的乘法具有以下结合律分配律性质

    e.g.

    矩阵的转置

    定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作Aᵀ。称满足Aᵀ=A的矩阵A为对称阵,满足Aᵀ = -A的矩阵A为反对称阵

    矩阵的转置运算具有以下性质:

    e.g.

    对例子的说明:

    迹:主对角线之和

    单行,单列相乘形成的方阵,行,列对应成比例,行,列元素相比等于原来的单行,单列元素之比

    单行单列相乘形成的数,数的值等于形成的方阵的迹

    方阵的行列式

    定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|

    方阵的行列式具有以下性质

    对于(3)|AB| = |A|·|B| = |B|·|A|

    伴随矩阵

    行列式|A|的各元素的代数余子式Aᵢⱼ所构成的如下的矩阵

    称为矩阵A的伴随矩阵,且有AA* = A*A = |A|E

    注:求A*的方法主要有以下两种方法

    (1)定义法:先求代数余子式(不要丢"+"、"-"号),再拼成A*(不要排错队)

    (2)公式法:在A可逆时,有A* = |A|A⁻¹

    伴随矩阵具有以下性质


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