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一章 概率论的基本概念

712人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 概率论与数理统计  | 标签: 概率论与数理统计  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/105

声明:请尊重原作者的劳动,如需转载请注明出处


    说明:本章是概率论的基础内容,概念比较多,特别要注意对概念的准确理解,仔细辨析概念间的差别,本章的重点是事件的关系,独立性的概念,条件概率的定义与计算,特别要重视全概率公式,贝叶斯公式的思想。

    随机试验

    样本空间

    样本点

    随机事件

    文氏图

    事件的关系及运算

    关系

    包含(子事件):B ⊂ A或者A ⊃ B

    概率意义:A发生必导致B发生

    相等:A=B

    并(和)事件:记A ∪ B或A+B

    概率意义:A发生或者B发生<=>A,B中至少有1个发生

    交(积)事件,记A ∩ B或AB

    概率意义:A发生且B发生;A,B同时发生

    差事件,记A-B = A┐B=A - AB

    概率意义:A发生且B不发生

    A与B互不相容(互斥):AB = Φ

    概率意义:A,B不能同时发生

    A与B对立:AB = Φ且A ∪ B = Ω

    概率意义:A,B不能同时发生但必有一个发生

    注:对立一定互斥,互斥不一定对立

    摩根律

    ┐(A∪B) = ┐A ∩ ┐B           ┐(A∩B) = ┐A ∪ ┐B 

    频率与概率

    概率统计意义

    概率公理化定义

    概率的基本性质与公式

    性质i:对于不可能事件Φ,则P(Φ) = 0

    性质ii有限可加性

                A₁,A₂,A₃两两互不相容,则P(A₁∪A₂∪A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

    性质iii单调性

                设A⊂B,则有P(B-A) = P(B) - P(A) ≥ 0 => P(B) ≥ P(A)

    性质iv: ∀A,有0≤P(A)≤1

    性质v:对立求逆

                P(┐A) = 1 - P(A)    思想:正难则反

    性质vi加法公式

    P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB),特别的,当AB=Φ,P(A∪B) = P(A) + P(B)

    三事件加法公式

    P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

    补充性质vii减法公式

    P(B-A) = P(B) - P(AB) = P(B┐A),特别的,若A⊂B,则P(B-A) = P(B) - P(A)

    等可能概型

    概率的古典定义(古典概型

    随机试验E具有以下两个特征,称E为古典型试验

    (1)所涉及的随机事件只有有限个样本点(有限性),譬如n个

    (2)每个基本事件出现的可能性是相等的(等可能性),若有n个,则每个发生概率为1/n

    若事件A含有k个样本点,则事件A的概率为

                     P(A) = 事件A所含样本点的个数/Ω中所有样本点的个数 = k/n

    排列数 A(n, m)

    组合数 C(n, m) = A(n, m)/m! = n!/[m!*(n-m)!]

    补充:几何概型

    (1)样本点无限个

    (2)样本点等可能性

    对应于长度或面积

    P(A) = A的长度或面积/Ω的长度或面积

    条件概率

    对于任意两个事件A,B,其中P(A)>0,“事件A发生的条件下B发生的概率”,简称为“事件B关于A的条件概率”,定义为

                                                     P(B|A) = P(AB)/P(A)

    对于固定的事件A,条件概率P(B|A)具有概率的一切性质,即

    (1)(非负性)0 ≤ P(B|A) ≤ 1

    (2)(规范性)P(Ω|A) = 1

    (3)(可列可加性)如果事件B₁,B₂,... 互不相容,那么P((B₁∪B₂∪...)|A) = ∑(i=1,n)P(Bᵢ|A)

    计算条件概率方法

    方法1 用定义 P(B|A) = P(AB) / P(A)

    方法2 用缩小样本空间    Ω->A

    注:P(B|A) 与 P(B) 的大小关系不确定

    乘法公式

    设A、B为两个事件,若P(A)>0,则有

                                     P(AB) = P(A)P(B|A)

    若P(B)>0,则有

                                    P(AB) = P(B)P(A|B)

    一般地,若P(A₁A₂...Aₙ₋₁)>0,则有

                                    P(A₁A₂...Aₙ₋₁Aₙ) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(Aₙ|A₁A₂...Aₙ₋₁)

    注:P(B|A) = 1 - P(┐B|A)

    定义(划分完备事件组)若事件组B₁,B₂,...Bₙ满足下列条件:

    (1)BᵢBⱼ = Φ,i ≠ j;i, j = 1, 2... n;

    (2)B₁∪B₂...∪Bₙ = Ω

    则称B₁,B₂...Bₙ是一个完备事件组或称为事件组B₁,B₂...Bₙ为Ω的一个分割(也称为划分,部分)

    全概率公式

    设B₁,B₂...Bₙ是一个完备事件组,P(Bᵢ)>0,i = 1, 2...n,则对任意的事件A有:

                                  P(A) = ∑(i=1, n)P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)

    证明:

    P(A) = P(AB₁∪AB₂...∪ABₙ) = P(AB₁) + P(AB₂) + ... + P(ABₙ) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(Bₙ)P(A|Bₙ)

    贝叶斯公式

    设B₁,B₂....Bₙ是一个完备事件组,P(Bᵢ)>0,j = 1, 2, ... ,n,对任意的事件A,P(A)>0,则

                     P(Bᵢ|A) = [P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)] / [∑(i=1, n)P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)]

    说明:即P(Bᵢ|A) = P(ABᵢ)/P(A),上面是乘法公式的变形,下面是全概率公式,贝叶斯公式也称逆概公式

    独立性

    定义(两事件)若A,B的概率满足P(AB) = P(A)P(B),称A与B独立

    注:独立是一个概率关系

    定理一

    设A、B是两事件,且P(A) > 0,若A、B相互独立,P(B|A) = P(B),反之亦然

    定理二

    若事件A与B相互独立,则下列各对事件也相互独立

                         ┐A与B、A与┐B,┐A与┐B

    三事件独立性

    如果事件A、B、C满足

                        P(AB) = P(A)P(B)

                        P(BC) = P(B)P(C)

                        P(AC) = P(A)P(C)

                        P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

    同时成立,则称三事件A,B,C相互独立,若A,B,C仅满足前三个等式,则称A,B,C两两独立。注意:“n个事件相互独立”与“n个事件两两独立”并非一回事。

    小技巧:对于既出现原概率又也现逆概率的情况,要想到使用减法公式,如

                     P(A┐B) = P(A) - P(AB)

    典型问题:抽奖问题,中奖的概率与抽奖的次序无关,每个人中奖的概率都是相同的


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