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三章一节 矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换

5334人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/107

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    定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换

    (1)互换两行(列)

    (2)以数 k ≠ 0 乘某一行(列)的所有元素

    (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)对应元素上

    如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,称A与B等价

    定理1 A与B等价 <=> 存在可逆矩阵P和Q,使PAQ = B <=> A与B同型且r(A) = r(B)

    定义2 零行元素(如果有的话)在最低行,每行左起第一个非零元素所在列下方元素全是0,则称这种矩阵为行阶梯矩阵;进一步如果每行左起第一个非零元素是1,且它所在列其他元素全是0,则称这种矩阵为行最简形矩阵

    定义3 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

    注:第一种是互换两行(列),第二种是某行(列)乘k倍,第三种是某行(列)倍加到另一行,这里的-5可以出现在除对角线外的任何位置。

    初等矩阵具有以下性质:

    (1)初等矩阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是对矩阵A作了一次与P同样的初等行(列)变换;

    (2)初等矩阵都是可逆的,且其逆仍是同类型的初等矩阵,即

    注:要记住,口算初等矩阵的逆矩阵时很有用


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