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五章二节 定积分 微积分基本公式

719人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/139

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    积分上限函数的定义和性质

    如果上限x在区间[a, b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分

                                                      ∫[a, x]f(t)dt

    有一个对应值,所以它在[a, b]上定义了一个函数,记作F(x),即

                                                      F(x) = ∫[a, x]f(t)dt (a <= x <= b)

    性质

    定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积,则积分上限的函数

                                                     F(x) = ∫[a, x]f(t)dt在[a, b]上连续

    定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,则积分上限的函数F(x) = ∫[a, x]f(t)dt在[a, b]上可导,并且它的导数

                                                     F'(x) = d(∫[a, x]f(t)dt)/dx = f(x) (a <= x <= b)

    定理3 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,则函数F(x) = ∫[a, x]f(t)dt就是f(x)在[a, b]上的一个原函数

    原函数存在定理

    如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),

    使对任意x∈I都有

                                                F'(x) = f(x)

    简单地说就是:连续函数一定有原函数

    注:积分上限的函数求导公式的推广

    [∫[φ₁(x), φ₂(x)]f(t)dt]' = f[φ₁(x)]φ₁'(x) - f[φ₂(x)]φ₂'(x)

    其中函数f(x)连续,φ₁(x)与φ₂(x)可导

    注:对于有变限积分的积分,要想到用洛必达法则和积分中值定理

    牛顿-莱布尼兹公式

    定理4 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数,那么

                         ∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)


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