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五章四节 定积分 反常积分

1696人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    无穷限的反常积分

    设函数f(x)定义在[a, +∞)上连续,取t>a,如果lim[t->+∞]∫[a, t]f(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在[a, +∞)上的反常积分,即

                                      ∫[a, +∞)f(x)dx = lim[t->+∞]∫[a, t]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, +∞]f(x)dx收敛,否则称反常积分∫[a, +∞)f(x)dx发散

    设函数f(x)定义在(-∞, b]上连续,取t>b,如果lim[t->-∞]∫[t, b]f(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在(-∞, b]上的反常积分,即

                                      ∫[-∞, b]f(x)dx = lim[t->-∞]∫[t, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[-∞, b]f(x)dx收敛,否则称反常积分∫[-∞, b]f(x)dx发散

    设函数f(x)定义在(-∞, +∞)上连续,取t>b,如果反常积分∫[0, +∞]f(x)dx和 ∫(-∞, 0]f(x)dx都收敛,则称 ∫[0, +∞]f(x)dx+ ∫(-∞, 0]f(x)dx 为函数f(x)在(-∞, +∞)上的反常积分,即

                                      ∫[-∞, +∞]f(x)dx = ∫(-∞, 0]f(x)dx + ∫[0, +∞]f(x)dx

    此时也称反常积分 ∫[-∞, +∞]f(x)dx 收敛,否则称反常积分 ∫[-∞, +∞]f(x)dx 发散

    注:常见情况

    反常积分∫[a, +∞]dx/xᵖ (a > 0),当p > 1时收敛,当p <= 1时发散

    反常积分∫[a, +∞]dx/xᵖlnᵗx (a > e),当p > 1时收敛,当p < 1时发散,当p = 1时,t <= 1时,发散,当t > 1时,收敛

    无界函数的反常积分

    设函数f(x)在(a, b]上连续,lim[x->a⁺]f(x) = ∞,取t > a,如果lim[t->a⁺]∫[t, b]f(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在(a, b]上的反常积分,即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = lim[t->a⁺]∫[t, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛,否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    设函数f(x)在[a, b)上连续,lim[x->b⁻]f(x) = ∞,取t < b,如果lim[t->b⁻]∫[a, t]f(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在[a, b)上的反常积分,即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = lim[t->b⁻]∫[a,t]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛,否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    设函数f(x)在[a, c),(c, b]上连续,lim[x->c]f(x) = ∞,取t < b,如果反常积分∫[a, c]f(x)dx和 ∫[c, b]f(x)dx都收敛,则称 ∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx 为函数f(x)在[a, b]上的反常积分,即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛,否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    注:常见情况

    反常积分∫[a, b]dx/(x-a)ᵖ,当0<q<1时收敛,当q>=1时发散


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