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七章七节 微分方程 常系数非齐次线性微分方程

3853人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/150

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    待定系数法

    二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

                                y'' + py' + qy = f(x)                     (1)

    其中p,q是常数

    我们主要解决f(x)为以下形式时的(1)的特解y*,首先根据f(x)的两种不同形式,设出y*的形式,再将y*代入(1),即可得到(1)的特解,这种方法的特点是不用积分就可求出y*来,它叫做待定系数法

    f(x)的两种形式是:

    1、f(x) = Pₘ(x)e^(λx),

    其中λ是常数, Pₘ(x) 是x的一个m次多项式:

                       Pₘ(x) = a₀xᵐ + a₁xᵐ⁻¹ + ... + aₘ₋₁x + aₘ

    2、f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx]

    其中λ、ω是常数,Pₗ(x)、Pₙ(x)分别是x的l次,n次多项式

    二阶常系数非齐次线性微分方程特解

    1、f(x) = e^(λx)Pₘ(x)型

    如果f(x) = e^(λx)Pₘ(x),则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)具有形如

                                  y* = xᵏQₘ(x)e^(λx)

    的特解

    其中Qₘ(x)是与Pₘ(x)同次(m次)的多项式

    而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根分别为0,1或2

    将y* = xᵏQₘ(x)e^(λx)代入(1),对比等式左右两侧x的相同幂次系数,即可得Qₘ(x)

    2、f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx]型

    如果f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解可设为

                             y* = xᵏe^(λx)[R¹ₘ(x)cosωx + R²ₘ(x)sinωx]

    而k按λ + iω(或 λ - iω)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1

    m = max{l, n}

    将y* = xᵏe^(λx)[R¹ₘ(x)cosωx + R²ₘ(x)sinωx]代入(1),对比等式左右两侧cosωx,sinωx的系数,即可得R¹ₘ(x),R²ₘ(x)

    注:特解的形式与f(x)的形式很像,多出了一个 xᵏ


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