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八章一节 多元函数微分法及其应用 多元函数的基本概念,极限与连续

2017人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/151

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    多元函数的定义

    一元函数的极限

    定义1 设D是R²的一个非空子集,称映射 f: D->R为定义在D上的二元函数,

    通常记为

                                      z = f(x, y), (x, y)∈D

    或

                                      z = f(P), P∈D

    lim[x->x₀]f(x) = A <=> ∀ε > 0,∃δ > 0,当0<|x-x₀|<δ时,有

                                     |f(x) - A| < ε

    多元函数的极限

    定义2 设二元函数f(P) = f(x, y)的定义域为D,P₀(x₀, y₀)是D的聚点

    如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ使得当点P(x, y) ∈ D ∩ U(P₀,δ)(去心邻域)时,都有

                                    |f(P) - A| = |f(x, y) - A| < ε

    成立,那么就称常数A为函数f(x, y)当(x, y) -> (x₀, y₀)时的极限

    记作

                lim[(x,y)->(x₀,y₀)]f(x,y) = A 或 f(x, y) -> A    (x, y) -> (x₀, y₀)

    也记作

                 lim[P->P₀]f(P) = A 或  f(P) -> A (P -> P₀)

    一元函数的极限存在

    lim[x->x₀]f(x) = A <=> lim[x->x₀⁺]f(x) = lim[x->x₀⁻]f(x) = A

    注:二重极限存在,是指P(x, y)以任何方式趋于P₀(x₀, y₀)时,f(x, y)都无限接近于A。因此,如果P(x, y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P₀(x₀, y₀)时,即使f(x, y)无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在。

    但是反过来,如果当P(x, y)以不同方式趋于P₀(x₀, y₀)时,f(x, y)趋于不同的值,那就就可以断定这函数的极限不存在。

    一元函数的连续性

    设函数y = f(x)在点x₀的某一邻域内有定义,如果

                                       lim[x->x₀]f(x) = f(x₀)

    那么就称函数f(x)在点x₀连续。

    多元函数的连续性

    定义3 设二元函数f(P) = f(x, y)的定义域为D,P₀(x₀, y₀)为D的聚点,且P₀∈D,如果lim[(x, y)->(x₀, y₀)]f(x, y) = f(x₀, y₀),则称函数f(x, y)在点P₀(x₀, y₀)连续

    对一元函数

    定理1 (有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

    定理2 (介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

    有界闭区域上连续的多元函数的性质

    性质1有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值。

    推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

    性质2介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值


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