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八章二节 多元函数微分法及其应用 偏导数

2969人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/153

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    一元函数导数的定义

                                         f'(x₀) = lim[x->x₀](f(x) - f(x₀))/(x - x₀)  ∃

    或

                                         f'(x₀) = lim[△x->0]△y/△x = lim[△x->0](f(x₀ + △x) - f(x₀))/△x  ∃

    也可以记作

                                          y'|x=x₀,dy/dx|x=x₀,df(x)/dx|x=x₀

    偏导数的定义及其计算法

    1、定义 设函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)的某一邻域内有定义,当y固定在y₀,而x在x₀处有增量△x时,相应的函数有增量f(x₀ + △x, y₀) - f(x₀, y₀),如果

                                         lim[△x->0](f(x₀ + △x, y₀) - f(x₀, y₀))/△x

    存在,则称此极限为函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)处对x的偏导数

    记作 δz/δx|x=x₀, y=y₀或者f'ₓ(x₀, y₀)

    同理,y的偏导数

                                       lim[△y->0](f(x₀, y₀ + △y) - f(x₀, y₀))/△y

    记作δz/δy|x=x₀,y=y₀或者f'ᵧ(x₀, y₀)

    一元函数导数的意义

    函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处的切线的斜率

    2、二元函数z=f(x, y)在点(x₀, y₀)的偏导数有下述几何意义

    设M₀(x₀, y₀, f(x₀, y₀))为曲面z = f(x, y)上的一点,过M₀作平面y=y₀,截此曲面得一曲线,此曲线在平面y=y₀上的方程为z=f(x, y₀),则导数d(f(x, y₀)/dx|x=x₀,即偏导数fₓ(x₀, y₀)就是这曲线在点M₀处的切线M₀Tₓ对x轴的斜率

    同样,偏导数fᵧ(x₀, y₀)的几何意义是曲面被平面x=x₀所截得的曲线在点M₀处的切线M₀Tᵧ对y轴的斜率

    f(x, y)在(x₀, y₀)偏导数 ∃  推不出  f(x, y)在(x₀, y₀) 连续

    高阶偏导数

    设函数z = f(x, y)在区域D内具有偏导数

    δz/δx = fₓ(x, y),δz/δy = fᵧ(x, y)

    那么在D内fₓ(x, y),fᵧ(x, y)都是x, y的函数

    如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z = f(x, y)的二阶偏导数

    按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数

    δ(δz/δx)/δx = δ²z/δ²x = fₓₓ(x, y),         δ(δz/δx)/δy = δ²z/δxδy = f ₓᵧ(x, y)

    δ(δz/δy)/δx = δ²z/δyδx = fᵧₓ(x, y),       δ(δz/δy)/δy = δ²z/δ²y = fᵧᵧ(x, y)

    定理 如果函数z = f(x, y)的两个二阶混合偏导数δ²z/δxδy及δ²z/δyδx在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等


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