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八章五节 多元函数微分法及其应用 隐函数的求导公式

2113人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/156

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    一元的情况

    隐函数存在定理1

    设函数F(x, y)在点P(x₀, y₀)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x₀, y₀) = 0,Fᵧ(x₀, y₀) ≠ 0,则方程以F(x, y) = 0在点(x₀, y₀)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y = f(x)

                                                    dy/dx = - Fₓ/Fᵧ

    二元的情况

    隐函数存在定理2

    设函数F(x, y, z)在点P(x₀, y₀, z₀)的某一邻域内具有连续偏导数且F(x₀, y₀, z₀) = 0,Fz(x₀, y₀, z₀) ≠ 0,则方程F(x, y, z) = 0在点(x₀, y₀, z₀)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z = f(x, y)

                                                     δz/δx = -Fₓ/Fz,             δz/δy = -Fᵧ/Fz

    隐函数存在定理3

    设函数F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在点P₀(x₀, y₀, u₀, v₀)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x₀, y₀, u₀, v₀) = 0,G(x₀, y₀, u₀, v₀) = 0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jaccobi)式):

                                                   

    在点P₀(x₀, y₀, u₀, v₀) 不等于零

    则方程组F(x, y, u, v) = 0,G(x, y, u, v) = 0在点(x₀, y₀, u₀, v₀)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u = u(x, y),v = v(x, y)

    注:上面的式子通过克拉默法则得到

 


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