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四章二节 向量组的线性相关性 向量组的线性相关性

2927人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

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    定义4 对向量组 I:α₁,α₂,..., αₘ , 若存在不全为 0 的数 k₁, k₂,...,kₘ ,使k₁α₁ + k₂α₂ + ... + kₘαₘ =  0 ,则称向量组 I 是线性相关的,否则称它是线性无关的.
    注:含有零向量的向量组必相关;含有相等或成比例向量的向量组必相关;一个向量不为0,则无关;两个向量不成比例,则无关.

    定理4 向量组 I:α₁,α₂,αₘ 线性相关
    <=>齐次方程组 x₁α₁ + x₂α₂ + ... + xₘαₘ =  0 有非零解;
    <=> r(α₁,α₂,..., αₘ )  < m(向量个数)
    <=>存在某向量 aᵢ 能由其余向量线性表示.

    定理4’向量组 I:α₁,α₂,αₘ 线性无关
    <=> 齐次方程组 x₁α₁ + x₂α₂ + ... + xₘαₘ =  0 只有零解
    <=> r(α₁,α₂,..., αₘ )  = m (向量个数)
     <=> 任一向量 aᵢ 都不能由其余向量线性表示.

    定理5

    (1)若向量组  I:α₁,α₂,αₘ 线性相关,则向量组 II:α₁,α₂,αₘ,αₘ₊₁也线性相关;反之,若向量组 II:α₁,α₂,αₘ,αₘ₊₁ 线性无关,则向量组I:α₁,α₂,αₘ 也线性无关.
    (2)向量个数大于维数的向量组线性相关,特别地n + 1个n 维向量必相关

    注:可以理解为未知数个数多于方程数,存在自由未知数
    (3)向量组 I:α₁,α₂,αₘ 线性无关,且向量组 II:α₁,α₂,αₘ,β 线性相关.
    则 β 可由向量组 I:α₁,α₂,αₘ 线性表示,且表示式唯一.


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