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五章一节 相似矩阵及二次型 向量的内积、长度及正交性

2823人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/169

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    定义1 设n 维列向量 α = (a₁, a₂, ... , aₙ)ᵀ,β = (b₁, b₂, ... , bₙ)ᵀ,称(α, β) = αᵀβ = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ为向量α,β的内积

    定义2 称||α|| = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)^(1/2)为α的模(长度),若||α|| = 1,则称α为单位向量;若αᵀβ = 0,则称α与β正交(垂直)

    定义3 一组两两正交且长度为1 的向量组称为单位正交向量组
    设向量组 α₁ , α₂ , α₃ 线性无关但不相互正交,令

           

    则得到的向量组β₁,β₂,β₃ 相互正交,上述过程称施密特正交化

    定义 4 若n 阶矩阵A满足AAᵀ = AᵀA = E ,则称A为正交矩阵
    注:正交矩阵有以下几何意义(充要条件)
    (1)每一列(行)长度都是1

    (2)任两列(行)相互正交

    定义 5 若Q 为正交矩阵,则x = Qy或 y = Qx 称为正交变换.


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