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五章五节 相似矩阵及二次型 二次型及其标准形

2243人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/173

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    定义8 含有n 个变量x₁, x₂, ... , xₙ的二次函数 f(x₁, x₂, ... , xₙ)=a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + ... + aₙₙxₙ² + 2a₁₂x₁x₂ + 2a₁₃x₁x₃ + ... + 2aₙ₋₁,ₙxₙ₋₁xₙ称为二次型

    称A 为二次型 f(x₁, x₂, ... , xₙ) 的矩阵,称 A的秩为二次型 f(x₁, x₂, ... , xₙ) 的秩,记为r(f)

    只含平方项不含交叉项的二次型,称为标准形

    如若标准形的系数只能是1,-1,0,则成为规范形.

    定义 9 设A和B都是n 阶实对称阵,若存在可逆矩阵C 使CᵀAC = B,则称A与B合同

    定理1 对任何 n 元二次型 f = xᵀAx,,总存在正交变换 x = Qy ,使 f 化为标准形,f = λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λₙyₙ²这里的 λ₁,λ₂, ... ,  λₙ 是矩阵A的特征值.

    定理2 二次型的标准形不唯一,但每个标准形中正平方项的个数p ,负平方项的个数q 都是不变的,这里p 称为正惯性指数, q 称为负惯性指数.


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