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一章三节 函数与极限 函数的极限

3728人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/43

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    说明:该节主要讲了函数极限的定义与性质

    函数极限的定义

    1、自变量趋于无穷大时函数的极限

    定义1:lim[x->]f(x)=A <=> ∃X > 0,当|x| > X,有|f(x) - A| < ε

    定义2:左右极限

    注:左右极限与极限的关系

    lim[x->]f(x) = A <=> lim[x->-∞]f(x) = lim[x->+∞]f(x) = A

    2、自变量趋于有限值时函数的极限

    定义3:lim[x->x₀]f(x) = A <=> ∀ε > 0, ∃δ > 0,当0<|x - x₀|<δ时,有

                                    |f(x) - A| < ε

    定义4:左右极限

    lim[x->x₀⁻]f(x) = A叫做函数f(x)当x-> x₀时的左极限

    lim[x->x₀⁺]f(x) = A叫做函数f(x)当x-> x₀时的右极限

    左右极限的情景

    e^∞,arctan∞,分段函数

    注:^表示后面是次方

    函数极限的性质

    定理1 (函数极限的唯一性

    如果lim[x->x₀]f(x)存在,那么这极限唯一。

    定理2 (函数极限的局部有界性

    如果lim[x->]f(x) = A,那么存在常数X > 0和M > 0,使得当|x| > X时,有|f(x)| < M

    如果lim[x->x₀]f(x) = A ,那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-x₀|<δ时,有|f(x)| < M

    定理3 (函数极限的局部保号性

    如果lim[x->]f(x) = A,且A>0(或A<0)那么存在常数X>0,使得当|x|>X时,有f(x)>0(f(x)<0)

    如果lim[x->x₀]f(x) = A ,且A>0(或A<0)那么存在常数δ>0,使得当0<|x-x₀|<δ时,有f(x)>0(f(x)<0)

    定理3'

    如果lim[x->]f(x) = A(A ≠ 0),那么就存在X>0,当|x|>X时,就有|f(x)|>|A|/2

    如果lim[x->x₀]f(x) = A (A ≠ 0),那么就存在x₀的某一去心邻域U(x₀),当x∈U(x₀)时,就有|f(x)|>|A|/2

    注:去心邻域的符号打不出来,用U代替

    推论

    如果存在X>0,当|x|>X时,有f(x) ≥ 0(或f(x) ≤ 0),而lim[x->]f(x) = A,那么A ≥ 0(或A ≤ 0)

    如果在x₀的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而lim[x->x₀]f(x) = A,那么A ≥ 0(或A ≤ 0)

    定理4(函数极限与数列极限的关系

    如果极限lim[x->]f(x)存在,{xₙ}在函数f(x)的定义域内,且满足:limxₙ=∞,那么相应的函数值数列f(xₙ)必收敛,且lim[n->∞]f(xₙ)=lim[x->∞]f(x)

    如果极限lim[x->x₀]f(x)存在,{xₙ}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列,且满足:xₙ ≠ x₀(n ∈ N⁺),那么相应的函数值数列f(xₙ)必收敛,且lim[n->∞]f(xₙ)=lim[x->x]f(x)


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