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一章六节 函数与极限 极限存在准则 两个重要极限

2275人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/60

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    说明:本节主要讲了夹逼准则和单调有界准则和两个重要极限,学习的目的是通过考研入学考试,所以知道结论会使用就可以了,证明略去。

    准则1 夹逼准则(数列形式)

    如果数列{xₙ} {yₙ} 及{zₙ}  满足下列条件:

        (1)从某项起,即∃n₀N,当n>n₀时,有yₙ xₙzₙ;

        (2)lim[n-> ]yₙ = lim[n-> ]zₙ = A

    那么数列{xₙ}的极限存在,且lim[n-> ]xₙ = A

    夹逼准则使用

    【手段】放大、缩小

    【目标】放大、缩小后形成新极限相同

    【核心】保持关键项不变,放大、缩小次要项

    准则1' 夹逼准则(函数形式)

    如果

    (1)当x∈U(x₀, r)或(|x| > M)时,g(x)≤f(x)≤h(x)

    (2)lim[x->x₀或x->∞]g(x) = A,lim[x->x₀或x->∞]h(x) = A

    那么lim[x->x₀或x->∞]f(x)存在,且等于A

    注:夹逼准则的两种情况,对应数列和函数的情形

    准则2 单调有界准则

    单调递增有上界或单调递减有下界,那么极限存在

    单调有界准则使用

    【目标】单调、有界

    【手段】单调:xₙ₊₁ - xₙ 0,有界:有下界 m xₙ,有上界 xₙ M

    【辅助】数学归纳法

    数学归纳法

    第一数学归纳法可以概括为以下三步:

    1、归纳垫基:证明n=1时命题成立

    2、归纳假设:假设n=k时命题成立

    3、归纳递推:由归纳假设推出n=k+1时命题也成立,从而就可以推出n对于所有正整数都成立

    重要极限1

                                    lim[x->0]sinx/x = 1

    注:当0 < x < π / 2,sinx < x < tanx,当- π / 2 < x < 0时,情况类似

    注:当lim[x->0]时,sinx~x~tanx~arctanx~arcsinx

    重要极限2

                                   lim[x->∞](1+1/x)ˣ = e

    注:对1^∞型极限,如lim[x->A](1+f(x))^g(x),结果为e^(lim[x->A]f(x)g(x))

    那如果是lim[x->A]f(x)^g(x)呢,可以转换成lim[x->A](1 + f(x) - 1)^g(x),结果为e^(lim[x->A](f(x)-1)g(x))


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