作者:因情语写
链接:https://www.proprogrammar.com/article/64
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定义1 设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内有定义,如果
lim[x->x₀]f(x) = f(x₀),
那么就称函数f(x)在点x₀连续
也即:f(x)在点x₀连续<=> ∀ ε > 0, ∃ δ > 0,当 0 < | x - x₀ | < δ时,有 | f(x) - f(x₀) | < ε
定义2 设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内有定义,如果
lim[△x->0]△y = lim[△x->0][f(x₀+△x) - f(x₀)] = 0,
那么就称函数y=f(x)在点x₀连续
左、右连续
定义3 如果lim[x->x₀⁻]f(x)存在且等于f(x₀),即
lim[x->x₀⁻]f(x) = f(x₀)
就说函数f(x)在点x₀左连续
定义4 如果lim[x->x₀⁺]f(x)存在且等于f(x₀),即
lim[x->x₀⁺]f(x) = f(x₀)
就说函数f(x)在点x₀右连续
【连续的核心】根限值等于定义值
(1)在x = x₀没有定义:f(x) = sinx / x 在x = 0时
(2)虽在x = x₀有定义,但lim[x->x₀]f(x)不存在(极限不存在):
f(x) = sinx / x ( x > 0) f(x) = 2 (x = 0) f(x) = sinx / x - 2 (x < 0) 在x = 0时
(3) 虽在x = x₀有定义,且lim[x->x₀]f(x)存在,但lim[x->x₀]f(x) ≠ f(x₀)(根限值不等于函数值)
f(x) = sinx / x,x≠0 f(x) = 2,x=0 在x = 0时
定义5 函数f(x)在点x₀为不连续,且lim[x->x₀]f(x)存在,则称x=x₀为f(x)的可去间断点(如sinx/x在x=0处)
定义6 若函数f(x)在点x₀的左、右极限均存在,且lim[x->x₀⁺]f(x) ≠ lim[x->x₀⁻]f(x),则称x=x₀为f(x)的跳跃间断点(如sgn(x)在x=0处)
注:可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点
定义7 若函数f(x)在点x₀的左极限或右极限为无穷大,即lim[x->x₀]f(x) = ∞,则称x = x₀为f(x)的无穷间断点(如1/x在x=0处)
定义8 若函数f(x)在点x₀的极限为振荡型的不存在,则称x=x₀为f(x)的振荡间断点(如1/x*sin1/x在x=0处)
定义9 非第一类间断点称为第二类间断点
注:第二类间断点不止定义7和定义8的情况
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