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一章九节 函数与极限 连续函数的运算与初等函数的连续性

2183人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/66

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    连续函数的和、差、积、商的连续性

    定理1 设函数f(x)和g(x)在点x₀连续,则它们的和(差)f(x) ± g(x)、f(x) · g(x)及f(x)/g(x)(当g(x₀) 0时)都在点x₀连续

    定理2 如果函数y=f(x)在区间Iₓ上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数x=f⁻¹(y)也在对应的区间Iᵧ={y|y=f(x),x∈Iₓ}上单调增加(或单调减少)且连续

    定理3 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,去心邻域U(x₀) ⊂ Df[g(x)],若lim[x->x₀]g(x) = u₀,而函数y=f(u)在u=u₀连续,则

                  lim[x->x₀]f[g(x)] = lim[u->u₀]f(u)=f(u₀)

    注:这说明在复合函数中,若子函数极限存在,那么极限符号可以提到子函数处,即

                 lim[x->x₀]f[g(x)] = f(lim[x->x₀]g(x)) = f(u₀)

    定理4 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,U(x₀)⊂Df[g(x)],若函数u=g(x)在x=x₀连续,且g(x₀)=u₀,而函数y=f(u)在u=u₀连续,则复合函数y=f[g(x)]在x₀也连续

    初等函数的连续性

    基本初等函数在它们的定义域内都是连续的


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