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二章一节 导数与微分 导数概念

5006人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    导数定义

    f'(x₀) = lim[x->x₀]f(x) - f(x₀) / x - x₀ 存在

    或

    lim[△x->0]△y/△x = lim[△x -> 0]f(x₀ + △x) - f(x₀)/ △x 存在

    也可以记作 y'|ₓ₌ₓ₀,dy/dx|ₓ₌ₓ₀,df(x)/dx|ₓ₌ₓ₀

    单侧导数

    如果lim[x->x₀⁻]f(x) - f(x₀) / x - x₀存在,则称此极限为f(x)在点x₀处的左导数,记作f₋'(x₀),

    如果lim[x->x₀⁺]f(x) - f(x₀) / x - x₀存在,则称此极限为f(x)在点x₀处的右导数,记作f₊'(x₀)

    注:f(x)在x₀处可导<=>f₋'(x₀),f₊'(x₀)都存在且f₋'(x₀) = f₊'(x₀)

    导数的几何意义

    函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处的切线的斜率

                                即 f'(x₀) = tanα

    其中 α 是切线的倾角

    曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处的切线方程

                                 y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

    过切点M(x₀, f(x₀))的法线方程

                                 y - f(x₀) = -1/f'(x₀)*(x - x₀)

    函数的连续性与可导性的关系

    如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点必连续,另一方面函数y=f(x)在点x处连续,但函数在该点未必可导


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