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二章二节三节 导数与微分 函数的求导法则 高阶导数

5731人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/70

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    函数的和差积商的求导法则

    定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在x爱上了有导数

    (1)[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)

    (2)[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

    (3)[u(x)/v(x)]' = u'(x)v(x) - u(x)v'(x) / [v(x)]²    (v(x) ≠ 0)

    常数和基本初等函数的导数公式

    (1)(C)' = 0

    (2) (xᵘ)' = uxᵘ⁻¹

    (3)(aˣ)' = aˣlna

    (4)(eˣ)' = eˣ

    (5)(logₐx)' = 1/(xlna)

    (6)(lnx)' = 1/x

    (7)(sinx)' = cosx

    (8)(cosx)' = -sinx

    (9)(tanx)' = sec²x

    (10)(cotx)' = -csc²x

    (11)(secx)' = secxtanx

    (12)(cscx)' = -cscxcotx

    (13)(arcsinx)' = 1/(1-x²)^(1/2)

    (14)(arccosx)' = -1/(1-x²)^(1/2)

    (15)(arctanx)' = 1/(1+x²)

    (16)(arccotx)' = -1/(1+x²)

    反函数的求导法则

    定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iᵧ内单调、可导且f'(y) ≠ 0,那么它的反函数y=f⁻¹(x)在对应区间Iₓ={x|x=f(y),y∈Iᵧ}内可导,并且

        [f⁻¹(x)]' = 1/f'(y)或dy/dx = 1/(dx/dy),即反函数的导数是原函数导数的倒数

    定理3 如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为dy/dx=f'(u) · g'(x)或dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

    注:可用于多个函数的复合,导数类似,这叫做链式法则

    高阶导数的概念

    一般的,函数y=f(x)的导数y' = f'(x)仍然是x的函数,我们把y' = f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记做y''或d²y/dx²

    类似的,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,....,一般的,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作

                  y''',y^(4),...,y^(n)

               或

               d³y/dx³,d⁴y/dx⁴,...,d''y/dx''

    几个n阶导数的例子

    (sin(ax+b))^(n) = aⁿsin(ax+b+nπ/2)

    (cos(ax+b))^(n) = aⁿcos(ax+b+nπ/2)

    (ln(ax+b))^(n) = ((-1)ⁿ⁻¹aⁿ(n-1)!)/(ax+b)ⁿ

    莱布尼兹公式

    (uv)^(n)  = C(n, 0)u^(n)*v^(0) + C(n, 1)u^(n-1)*v^(1) + ... + C(n, i)u^(n-i)*v^(i) + ... + C(n, n)u^(0)*v^(n)

    其中u^(0) = u,v^(0) = v


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