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三章一节 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理

534人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    罗尔(中值)定理

    如果函数f(x)满足

    (1)在闭区间[a, b]上连续;

    (2)在开区间(a, b)内可导;

    (3)在区间端点处的函数值相等,即f(a) = f(b),那么在(a, b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ) = 0

    拉格朗日(中值)定理

    如果函数f(x)满足

    (1)在闭区间[a, b]上连续;

    (2)在开区间(a, b)内可导;

    那么在(a, b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)

    柯西(中值)定理

    (1)在闭区间[a, b]上连续;

    (2)在开区间(a, b)内可导;

    (3)对任一x∈(a, b),F'(x) ≠ 0

    那么在(a, b)内至少有一点ξ使等式

                         f(b) - f(a) / F(b) - F(a) = f'(ξ) / F'(ξ)

    成立

    注:在实际做题中,这里的F(x)常取x,lnx,x²,eˣ,...

    三大中值定理的关系

    柯西中值定理(令F(x) = x) => 拉格朗日中值定理 (令f(b) = f(a)) => 罗尔中值定理


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