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三章三节 微分中值定理与导数的应用 泰勒公式

4067人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    泰勒公式

    如果函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a, b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任意x∈(a, b),有

                     f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)/2!*(x-x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!*(x-x₀)ⁿ + Rₙ(x)

    其中

                 Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹

    这里ξ是x₀与x之间的某个值,称为f(x)按(x-x₀)的幂展开的带拉格朗日型余项的n阶泰勒公式,而Rₙ(x)的表达式称为拉格朗日型余项

    在不需要余项的精确表达时,n阶泰勒公式也可写成

                 f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)/2!*(x-x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!*(x-x₀)ⁿ + o[(x-x₀)ⁿ]

    称为f(x)按(x-x₀)的幂展开的带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,而Rₙ(x)的表达式称为佩亚诺型余项

    注:当Rₙ(x)写成o[(x-x₀)ⁿ]形式时,f(x)只需n阶可导

    在泰勒公式中,如果取x₀=0,则有拉格朗日余项的麦克劳林公式

               f(x) = f(0) + f'(0)x + ... + f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ + f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!*xⁿ⁺¹

    ξ是0与x之间的某个值

    还有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

               f(x) = f(0) + f'(0)x + ... + f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ + o(xⁿ)

    当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式

            f(x) = f(x₀) + f'(ξ)(x - x₀)  (ξ在x₀与x之间)

    几个常见函数的麦克劳林公式

          sinx = x - x³/3! + ... + (-1)ᵏ⁻¹/(2k-1)!*x²ᵏ⁻¹ + sin(ξ + (2k+1)π/2)/(2k+1)!*x²ᵏ⁺¹

          cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! + ... + (-1)ᵏ/(2k)!*x²ᵏ + cos(ξ + (k+1)π)/(2k+2)!*x²ᵏ⁺²

          ln(1+x) = x - x²/2 + ... + (-1)ⁿ⁻¹/n*xⁿ + (-1)ⁿxⁿ⁺¹/(1+ξ)ⁿ⁺¹(n+1)

          (1+x)ᵃ = 1 + ax + A(a, 2)x² + ... + A(a, n)xⁿ + A(a, n+1)(1+ξ)ᵃ⁻ⁿ⁻¹xⁿ⁺¹

          eˣ = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n! + e^ξ*xⁿ⁺¹/(n+1)!


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