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三章五节 微分中值定理与导数的应用 曲线的凹凸性与拐点

5036人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    曲线的凹凸性

    定义1 设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x₁,x₂恒有

                 f((x₁+x₂)/2) < (f(x₁) + f(x₂)) / 2

    那么称f(x)在I上的图形是凹的(或凹弧);如果恒有

                  f((x₁+x₂)/2) > (f(x₁) + f(x₂)) / 2

    那么称f(x)在I上的图形是凸的(或凸弧

    定理1 设f(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内具有一阶和二阶导数,那么

    (1)若在(a, b)内f''(x) > 0,则f(x)在[a, b]上的图形是凹的

    (2)若在(a, b)内f''(x) < 0,则f(x)在[a, b]上的图形是凸的

    曲线的拐点

    定义2 设y = f(x)在区间I上连续,x₀是I的内点,如果曲线y = f(x) 在经过点(x₀, f(x₀))时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点(x₀, f(x₀))为这曲线的拐点

    定理2 必要条件

    (x₀, f(x₀))为f(x)的拐点,那么f''(x₀)=0,或者x₀二阶不可导,同理,如果f''(x₀) ≠ 0,一定不为f(x)的拐点

    定理3 第一充分条件)设函数f(x)在x₀处连续,且在x₀的某去心邻域U(x₀, δ)内二阶可导

    (1)若x∈(x₀ - δ, x₀)时,f''(x)的符号与x∈(x₀, x₀ + δ)时,f''(x)的符号相反,则点(x₀, f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点

    (2)若x∈去心邻域U(x₀, δ)时,f''(x)的符号保持不变,则点((x₀, f(x₀))不为曲线y=f(x)的拐点

    定理4第二充分条件)设函数f(x)在x₀某去心邻域内具有三阶连续导数,如果f''(x₀) = 0, f'''(x₀) ≠ 0,那么点(x₀, f(x₀))为曲线y = f(x)的拐点

    求解连续曲线y=f(x)的拐点的步骤:

    (1)求f''(x);

    (2)令f''(x) = 0,解出这方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f''(x)不存在的点;

    (3)对于(2)中求出的每一个实根x₀,以下两种方法均可:

        1)检查f''(x)在x₀左、右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反,点(x₀, f(x₀))是拐点,不两侧符号相同,点(x₀, f(x₀))不是拐点

        2)检验f'''(x₀),当f'''(x₀)≠0时,点(x₀, f(x₀))是拐点

    对于(2)中二阶导数不存在的点x₀,检查f''(x)在x₀左、右两侧邻近点的符号,两侧的符号相反时,点(x₀, f(x₀))是拐点,当两侧的符号相同时,点(x₀, f(x₀))不是拐点


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