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四章一节 不定积分 不定积分的性质和概念

4621人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

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    说明:本节说了不定积分的概念,性质,常用基本积分

    原函数定义

    如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任意x∈I都有

                      F'(x) = f(x) 或dF(x) = f(x)dx

    那么函数F(x)就称为f(x)或(f(x)dx)在区间I上的原函数

    原函数存在定理

    如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),

    使对任意x∈I都有

                     F'(x) = f(x)

    简单地说就是:连续函数一定有原函数

    如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x),使对任一x∈I,都有F'(x) = f(x),那么,对任何常数C,显然也有

                    [F(x) + C]' = f(x)

    不定积分定义

    在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间上的不定积分,记作

                    ∫f(x)dx = F(x) + C

    其中记号∫称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量

    (1)如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)dx = F(x) + C

    (2)由于∫f(x)dx是f(x)的原函数,所以d[∫f(x)dx]/dx = f(x)

    (3)由于F(x)是F'(x)的原函数,所以∫F'(x)dx = F(x) + C

    基本积分表

    不定积分的性质

    性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

    性质2 设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则∫kf(x)dx = k∫f(x)dx

    注:常用公式


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