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四章二节 不定积分 换元积分法

5024人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.proprogrammar.com/article/96

声明:请尊重原作者的劳动,如需转载请注明出处


    说明:本节说了两种积分方法:凑微分法(第一换元法),换元法(第二换元法)

    第一换元法(凑微分法)

    定理1 设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式

                   ∫f[(φ(x)]φ'(x)dx = [∫f(u)du]|u=φ(x) = ∫f[(φ(x)]dφ(x)

    一般地,对于积分∫f(xⁿ)xⁿ⁻¹dx,总可作变换u = xⁿ,把它化为

                   ∫f(xⁿ)xⁿ⁻¹dx = 1/n*∫f(xⁿ)dxⁿ = 1/n*[∫f(u)du]|u=xⁿ

    一般地,对于积分∫f(lnx)*1/xdx,总可作变换u = lnx,把它化为

                   ∫f(lnx)*1/xdx = ∫f(lnx)d(lnx) = [∫f(u)du]|u=lnx

    一般地,对于积分∫f(eᕽ)eᕽdx,总可作变换u=eᕽ,把它化为

                  ∫f(eᕽ)eᕽdx = ∫f(eᕽ)deᕽ = [∫f(u)du]|u=eᕽ

    一般地,对于sin²ᵏ⁺¹xcosⁿx或sinⁿxcos²ᵏ⁺¹x(其中k∈N)型函数的积分总可依次作变换u=cosx或u=sinx,求得结果

    一般地,对于sin²ᵏxcos²ˡx(k, l∈N)型函数,总可利用三角恒等式sin²x = 1/2*(1-cos2x),cos²x = 1/2*(1+cos2x)化成cos2x的多项式求得结果

    注:几个例子

    ∫secxdx = ln|secx + tanx| + C

    ∫cscxdx = ln|cscx - cotx| + C

    ∫1/(x² - a²)dx(a≠0) = ∫1/[(x-a)(x+a)]dx = 1/2a*∫(1/(x-a) - 1/(x+a)dx = 1/2a*ln|(x-a)/(x+a)| + C

    ∫1/(x² + a²)dx(a≠0) = 1/a² *∫1/[1 + (x/a)²]dx = 1/a∫1/[1+(x/a)²]d(x/a) = 1/a * arctan(x/a) + C

    ∫1/(ax² + bx + c)dx(a≠0) 

    ax² + bx + c有实根--裂项--∫1/xdx形式

    ax² + bx + c无实根--配方--∫1/(1+x²)dx形式

   ∫1/(a² - x²)^(1/2)(a>0) = 1/a * ∫1/(1 - (x/a)²)^(1/2)dx = ∫1/(1 - (x/a)²)^(1/2)d(x/a) = arcsin(x/a) + C

    第二换元法

    定理2 设x = φ(t)是单调的,可导的函数,并且φ'(t)≠0,

    又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数,

           ∫f(x)dx = [∫f[φ(t)]φ'(t)dt]|t=φ⁻¹(x)

    其中φ⁻¹(x)是x=φ(t)的反函数

    三角换元

    一般的,如果被积函数含有(a² - x²)^(1/2),可以作代换x = asint,t∈[-π/2, π/2]化去根式

    一般的,如果被积函数含有(a² + x²)^(1/2),可以作代换x=atant,t∈[-π/2, π/2]化去根式

    一般的,旭果被积函数含有( x² - a²)^(1/2),可以作代换x=asect,t∈[0, π/2]化去根式


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